Worauf ich hinaus will. Die natuerlichen Zahlen sind nicht nur eine Menge sondern ein kommutativer Halbring ueber einer Menge N und den Operatoren + und *.
Die Operationen + und * werden ueber die Nachfolgerfunktion definiert. Die Nachfolgerfunktion ist inherent in den ueblichen Definitionen der Menge N. Z.B.
- Peano Axiome (0 ist per Def. eine natuerliche Zahl. Jede natuerliche Zahl n hat genau einen Nachfolger s(n)).
- Mengentheortische Herleitung: {} ist eine natuerliche Zahl, so auch {{}}, {{}, {{}}} etc. Diese Folge implizert auch eine Nachfolgerfunktion.
- Lambda Kalkuehl: XXXX
- etc
Der Clue dieser Definitionen ist dass nun + folgendermassen auf die Nachfolgefunktion zurueckgefuehrt werden (hier fuer die Peano Axiome):
0 + m = m
s(n) + m = s(n+m)
und vermutlich sind diese Definitionen auch notwendig
n + 0 = n
n + s(m) = s(n+m)
Aehnlich kann man nun * auf + zurueckfuehren. - und / sind die inversen Funktionen und muessen nicht definiert werden. Die natuerlichen Zahlen kann man dann intuitiv auf Z, dann Q, R und letzendlich auf I erweitern. Z wird dabei ein Ring usw.
Zur Notation der Zahlen: Die meisten sind zu Faul 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))) etc auszuschreiben, und schreiben dafuer lieber abkuerzend 0, 1, 2, 3, .... Vielleicht kann die Notation jemand andereres erklaeren. Fuer heute mache ich schluss.
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