Einführung in die Mathematik
 

Dies ist eine kurze Einführung in die Mathematik. Sie dient dem Zwecke,
dass türk. Frauen, die nachts vor Wut nicht schlafen können, ihre kostbare Zeit in der Nacht zum Rechnen verwenden anstatt zum Dummschwätzen (ich meine es ernst).

Mathematik ist... Ja, was ist Mathematik eigentlich? Das ist gar nicht so leicht zu sagen! Wenn Sie die Gelegenheit haben, fragen Sie doch ein paar Mathematiker und Mathematikerinnen (oder Mathematik-LehrerInnen) danach! Sie werden ganz verschiedene Antworten bekommen. Beispielsweise "Mathematik beschäftigt sich mit formalen Strukturen und quantitativen, d.h. durch Zahlen ausdrückbaren Beziehungen" oder "Mathematik ist die Kunst, mit Hilfe exakten logischen Schließens aus bekannten Gegebenheiten neue, bislang unbekannte Wahrheiten zu entdecken". Vielleicht hören Sie auch eine Aussage wie "Mathematik handelt nicht von der realen Welt, sondern beschäftigt sich mit idealisierten Denkmodellen" oder gar "Mathematik ist die Lehre von der Umformung von Zeichenketten". All diese Aussagen haben auf ihre Weise recht, auch diese: "Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme umwandelt" oder "Mathematik ist, was Mathematiker betreiben".

In jedem Fall ist es tatsächlich so, dass sich Mathematik zunächst auf ideale Gedankenkonstruktionen bezieht. Diese werden von MathematikerInnen aus aller Welt weiterentwickelt (wobei die Entscheidung, MathematikerIn zu werden, oft aus purer Freude an der Konstruktion und Analyse formaler Strukturen erfolgte). Andererseits sind viele der mathematischen Begriffe und Methoden entwickelt worden, um mehr von der Welt zu verstehen. So sind die physikalischen Naturgesetze in der Sprache der Mathematik formuliert, und mittlerweile spielt die Mathematik auch in der Chemie und der Biologie eine entscheidende Rolle. Mathematische Probleme ergeben sich, wenn technische oder wirtschaftliche Systeme untersucht werden. Zwischen den beiden Triebkräften, der "theoretischen" und der "angewandten" Motivation, besteht eine ständige gegenseitige Beeinflussung und Stimulierung. Während der letzten zwei Jahrtausende hat sich die Mathematik zu einer eigenständigen Wissenschaft entwickelt, die in zahlreiche Spezialgebiete aufgefächert ist. Zwischenzeitlich wurde sie sogar als "Königsdisziplin" betrachtet, doch heute steht sie gleichberechtigt neben den anderen Wissenschaften. Von diesem Standpunkt aus betrachtet ist Mathematik eine kulturelle Errungenschaft, die nicht durch ein einfaches Statement umfassend charakterisiert werden kann.

Anstatt sich auf eine genaue Charakterisierung zu versteifen, was Mathematik ist, fällt es leichter, einige weit verbreitete Ansichten über Mathematik abzuklopfen und Verkürzungen zurechtzurücken, um grobe Missverständnisse zu vermeiden.


Was Mathematik (eher) nicht ist




Über die Mathematik gibt es zahlreiche Anschauungen, die meist der Erfahrung mit dem eigenen, bisher erhaltenen Unterricht entspringen. Vielleicht kommt Ihnen diese Aussage bekannt vor:

"Mathematik ist gleichbedeutend mit Rechnen oder Rechentechnik. Das Lösen einer mathematischen Aufgabe besteht darin, die für das gestellte Problem zuständige Formel oder das passende Verfahren zu finden und mit deren Hilfe eine Rechnung durchzuführen. Am Ende kommt eine Zahl heraus, das Ergebnis oder Resultat. Es wird unterstrichen, und damit ist die Aufgabe gelöst."

Als Klarstellung ist dazu zunächst zu sagen, dass Rechentechniken sehr wohl eine unentbehrliche Hilfe bei der Lösung mathematischer Aufgaben sind. Formeln, Rechenregeln und Berechnungsweisen – in einem vernünftigen Ausmaß – zu kennen und anwenden zu können, ist Teil der Allgemeinbildung und überdies in der Praxis etlicher Berufe notwendig. Ohne sie könnten wir nur sehr wenige mathematische Probleme lösen. Dennoch geht es im Kern auch um etwas Anderes: Zur Mathematik gehört vor allem das Erfassen und Analysieren der Struktur von Problemen, das Entwickeln von Lösungsstrategien, die Nutzung bekannter Sachverhalte, um neue Problemstellungen bearbeiten zu können. Es geht also um das Finden der Lösungswege. Es geht um das Verstehen, warum gerade diese oder jene Rechenschritte zur Lösung eines Problems durchgeführt werden. Es geht darum, zu überlegen, ob man auch auf anderem Weg zum Ziel hätte kommen können. Mit einem Wort: Es geht darum, Erkenntnisse zu erzielen! Diese – für die Mathematik typischen – Tätigkeiten erfordern eine gewisse Kreativität. Sie fallen nicht einfach unter das Stichwort "rechnen". Eher können sie durch Begriffe wie "suchen und finden", "erfassen und verstehen" sowie "analysieren, argumentieren, begründen und beweisen" charakterisiert werden. Hinzu kommt noch die Übersetzung von Problemen, die aus dem Alltag oder einem andern Fachgebiet stammen, in die mathematische Sprache (das "Idealisieren" und "Modellieren") und schließlich das Rückübersetzen mathematischer Ergebnisse in den Kontext, aus dem die Fragestellung stammt, um sie sachgemäß beantworten und vielleicht auch "diskutieren und bewerten" zu können.

Das war jetzt eine lange Liste von Dingen, die Ihnen vielleicht unangenehm und allzu arbeitsaufwändig erscheinen, die aber – jeweils in kleinen Dosen – auch von SchülerInnen im Mathematikunterricht verlangt werden! Schon regt sich Widerstand:

"Ich will's nicht verstehen – ich möchte nur wissen, wie's geht!"

Wie viele Mathematik-NachhilfelehrerInnen haben nicht über diesen Satz geklagt! Wir werden weiter unten, beim Versuch, Ihnen einige Tipps zum Lernen nahezubringen, ein bisschen mehr über diese Einstellung sagen. Hier genügt der Hinweis, dass sie den Charakter von Mathematik grob verkürzt: Auch das "Verstehen" ist eine mathematische Kompetenz, nicht nur das "Wissen, wie's geht".





Fortsetzung folgt

weitere Hausaufgaben
 

Grüss Gott,

heute möchte ich mit einer kurzen einfachen Einführung in die Grundrechenarten fortfahren.






Grundrechenarten


In der Mathematik gibt es 4 Grundrechenarten:
• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division
Addition
Fachbegriff = die Addition
Arbeitsbegriff = das Zusammenzählen
Rechenzeichen = +
Die Bezeichnung der Zahlen:
6 + 2 = 8
6 = Summand ; 2 = Summand ; 8 = Summe
also gilt: Summand plus Summand gleich Summe
Regel: Bei der Addition sind die Summanden tauschbar.

Subtraktion
Fachbegriff = die Subtraktion
Arbeitsbegriff = das Abziehen
Rechenzeichen = -
Die Bezeichnung der Zahlen:
6 - 2 = 4
6 = Minuend ; 2 = Subtrahend ; 4 = Differenz
also gilt: Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
Regel: Bei der Subtraktion sind der Minuend und der Subtrahend nicht tauschbar.

Multiplikation
Fachbegriff = die Multiplikation
Arbeitsbegriff = das Malnehmen
Rechenzeichen = x, *
Die Bezeichnung der Zahlen:
6 * 2 = 12
6 = Multiplikand ; 2 = Multiplikator ; 12 = Produkt
also gilt: Multiplikand mal Multiplikator gleich Produkt
1. Regel: Die Reihenfolge der Faktoren ist beliebig.
2. Regel: Das Ergebnis (Produkt) ist positiv wenn die Anzahl der negativen Vorzeichen eine gerade Zahl ergibt.

Division
Fachbegriff = die Division
Arbeitsbegriff = das Teilen
Rechenzeichen = :
Die Bezeichnung der Zahlen:
6 : 2 = 3
6 = Dividend ; 2 = Divisor ; 3 = Quotient
also gilt: Dividend (geteilt) durch Divisor gleich Quotient
1. Regel: Das Ergebnis (Quotient) ist positiv wenn die Anzahl der negativen Vorzeichen eine gerade Zahl ergibt.
2. Regel: Wenn vor einer Null ein Divisionspunkt steht so ergibt das kein Ergebnis. ( 2:0 =

Ein magisches Quadrat ist eine interessante Anordnung von Zahlen, die viele Regelmäßigkeiten zeigt.

Ein Quadrat wird von Geraden, die zu seinen Seiten parallel sind, in eine gewisse Anzahl von Zeilen und ebensoviele Spalten aufgeteilt und dann wird folgende Aufgabe gestellt:

Diese Figur ist so mit aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen zu füllen, dass in jedes kleine Feld genau eine Zahl kommt und die Summe der Zahlen in jeder Zeile, jeder Spalte und längs beider Diagonalen dieselbe ist.

Magische Quadrate müssen wenigstens die Größe 3 x 3 Kästchen besitzen. Die Anzahl dieser magischen Quadrate ist aber ziemlich begrenzt ;-))
Hier die beiden Beispiele für die Zahlen 1 bis 9 , bzw. 0 bis 8 .
8 1 6
3 5 7
4 9 2

1 6 5
8 4 0
3 2 7

Interessant sind aber die magischen Quadrate 4. ( 4 x 4 Kästchen) oder höherer Ordnung . Alleine magische Quadrate 4. Ordnung gibt es 7040 Stück; damit dürfte ausreichend Beschäftigung für die Winterzeit gegeben sein. ;-))

Als Anregung 4 verschiedene magische Quadrate 4. Ordnung (jeweils mit den Zahlen 1 bis 16):

1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16

5 11 14 4
16 6 3 9
1 15 10 8
12 2 7 13

1 15 10 8
14 4 5 11
7 9 16 2
12 6 3 13

12 6 3 13
1 11 14 8
16 2 7 9
5 15 10 4

Wer findet weitere magische Quadrate 4. oder höherer Ordnung?

Wer kennt einen "Trick" um solche Quadrate einfach bilden zu können?

Hab keine Ahnung was ihr hier wollt.

14 6 72 42
66 48 8 12
30 60 18 26
24 20 36 54

7 2 24 14
22 16 5 4
10 20 6 11
8 9 12 18

17 5 60 35
55 40 12 10
25 50 15 27
20 32 30 45


so was? *verwiert

In der Oberstufe hatte ich immer 1, 2 oder manchmal auch 0 Punkte in Mathe ...

Yahu Sudoku hic cözmem ama bu beni uyutmuyor lan.

Simdi senin örnekten alarak deniyorum.

1 15 14 4 a_____________________a+b__________________b______ _________ (a+(a+b)-b)²
12 6 7 9 (a+(a+b)-b)²x3_(a+(a+b)-b)²+(a+(a+b)-b)_(a+(a+b)-b)²+ (a+(a+b)-b)²-1_(a+(a+b)-b)²x3-3
8 10 11 5 (a+(a+b)-b)³_______a+b-(a+(a+b)-b)²_________b-(a+(a+b)-b)²+a_______(a+(a+b)-b)+a
13 3 2 16 b-a_______________(a+(a+b)-b)²-a_____________(a+(a+b)-b)__________b+(a+(a+b)-b)

Sistem bu mu? Böyle bisiden mi bahsediyoruz? Napiyoruz burada?
Neyse ben gidiyorum, alkollüyüm zaten daha flip-flop hazirlamam lazim. Arada yine bakarim.

Du faengst aber auf einem ziemlich hohem Niveau an. Zuerst solltest du mal Zahlen definieren.

ja genau, mach das mal...seitdem du mit dieser selbstbeschäftigungssache hier im forum nachgelassen hast, bist'e nur noch übler drauf ;)

natürliche Zahlen
 

Da hast du Recht. Ich kann übrigens jedem mathematik-wissen.de empfehlen, falls er/sie/es seine angesammelten Mathematikkenntnisse refreshen möchte oder mal zur Abwechslung Mathematik lernen will anstatt zu chatten.

Dann fangen wir mal mit den natürlichen Zahlen an.


Die natürlichen Zahlen werden definiert als ganze positive Zahlen. Definieren bedeutet nichts weiter, dass wir diesen Zahlen einen Namen und ein Zeichen geben. (zeichen kann nicht dargestellt werden, sieht aus wie ein grosses N). Üblicherweise gehört die Null nicht zu der Menge der natürlichen Zahlen. Allerdings ist es auch nicht falsch, sie mit reinzunehmen: 0,1,2,3,4,5,...

Hinweis: Dass wir etwas definieren, zeigen wir, indem wir statt dem Gleichheitszeichen ein Gleichheitszeichen mit einem Doppelpunkt benutzen, wobei der Doppelpunkt in die Richtung zeigt, was wir definieren wollen, in diesem Fall also unser N.

Das sieht dann so aus:
N:=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)
Dieses Zeichen wird nur bei der Definition verwendet. In der Schule verwendet man dieses Zeichen nur selten, stattdessen wird häufig ein Gleichheitszeichen benutzt.

Woher kommen denn die Namen und Zeichen? Nach 5 hoeren die schon auf?


Du verwendest hier eine Mengennotation. Sollest du nicht erstmal den Begriff einer Menge definieren? Was bedeuten denn die Punkte?

Sind Zahlen also eine Menge? Eine Menge ist doch ungeordet. Unterliegen Zahlen keiner Ordnungsrelation? Was ist denn ueberhaupt eine Relation?

Fragst du nach dem Grössenintervall??


Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen.


Unter den Punkten meinte ich "geht bis unendlich".
Eine Relation ist eine Beziehung, bei der stets klar ist, ob sie besteht oder nicht.


Wie kann ich auf Rechner mathematische Symbole darstellen?

Nein, lass mich mal aufschreiben was Zahlen eigentlich sind (siehe naechster Beitrag).


.


... aber wie? Wieso kommt nach 5 6 etc?

Stimmt das? Was ist mit dem Halteproblem? Kann man darueber keine Relationen bilden?


In Unicode? Das weiss ich leider nicht.

Worauf ich hinaus will. Die natuerlichen Zahlen sind nicht nur eine Menge sondern ein kommutativer Halbring ueber einer Menge N und den Operatoren + und *.

Die Operationen + und * werden ueber die Nachfolgerfunktion definiert. Die Nachfolgerfunktion ist inherent in den ueblichen Definitionen der Menge N. Z.B.

- Peano Axiome (0 ist per Def. eine natuerliche Zahl. Jede natuerliche Zahl n hat genau einen Nachfolger s(n)).

- Mengentheortische Herleitung: {} ist eine natuerliche Zahl, so auch {{}}, {{}, {{}}} etc. Diese Folge implizert auch eine Nachfolgerfunktion.

- Lambda Kalkuehl: XXXX

- etc


Der Clue dieser Definitionen ist dass nun + folgendermassen auf die Nachfolgefunktion zurueckgefuehrt werden (hier fuer die Peano Axiome):

0 + m = m
s(n) + m = s(n+m)

und vermutlich sind diese Definitionen auch notwendig
n + 0 = n
n + s(m) = s(n+m)

Aehnlich kann man nun * auf + zurueckfuehren. - und / sind die inversen Funktionen und muessen nicht definiert werden. Die natuerlichen Zahlen kann man dann intuitiv auf Z, dann Q, R und letzendlich auf I erweitern. Z wird dabei ein Ring usw.

Zur Notation der Zahlen: Die meisten sind zu Faul 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))) etc auszuschreiben, und schreiben dafuer lieber abkuerzend 0, 1, 2, 3, .... Vielleicht kann die Notation jemand andereres erklaeren. Fuer heute mache ich schluss.

Vielleicht dass noch:

Das schoene an der mengentheoretischen Herleitung ist dass Zahlen und somit die ganze Mathematik auf den Begriff der Menge, der leeren Menge und die Vereinigung zurueckgefuehrt werden kann.

Fuer die Peano Axiome scheint man den Begriff der Funktion vorauszusetzen. Auf Anhieb finde ich das nicht sehr elegant. Naja, eine Funktion ist ja nichts anderes als eine Relation. Vielleicht laesst sich letztendlich auch hier alles auf die Menge zurueckfuehren?

Im Lambakalkuehl laesst sich die ganze Mathematik auf anonyme Funktionen mit einem Argument zurueckfuehren. Die Definitionen sind etwas laenglich und daher komm ich auf Anhieb nicht drauf (daher die XXX).


Da alles ist hastig aufgeschrieben. Ich bitte um Korrekturen.

ich versteh kein Wort

wieso verkompliziert ihr das eigentlich...als ich mit Mathe anfing
wurden die zahlen auch nicht zuerst definiert, habs trotzdem bis zum Abi durchgehalten :D

vielmehr kopfschmerzen bereiteten mir Themen wie Funktionen, Integralrechnung,
Grenzwertbestimmung, Wahscheinlichkeitsrechnung, Stochastik falan falan....

terbiyesizlik yapmak icin baska bir makaleyi secemedinizmi?
Konuyla ne alakasi var?

Ah, ich sehe, du bist eine Mathematikerin in der Tradition Kroneckers, auf dem der Ausspruch "Gott gab uns die ganzen Zahlen, der Rest ist Menschenwerk" zurückgeht.


Da kann ich dir nur zustimmen. Ich bin schon ganz bespannt wo uns frehmeh und untrace nun hinführen werden!

Genau, PasaZade, störe unsere Kreise nicht! :rolleyes:

Absolut. Es wird Zeit das auch einmal eine Türkin den Mathematiknobelpreis bekommt. Vaybeefrauen vor! Wir haben volles Vertrauen in Euch :p

Sollten wir uns jetzt etwa geehrt fühlen, das ihr soviel Vertrauen in *uns* gesetzt habt ??

wahre Worte...so oder so ähnlich hätte ich es auch formuliert :D

bende merak ettim dogrusu....

Absolut. Wir haben mit Euch grosses vor. Der Mathematiknobelpreis ist erst der Anfang.

Was erwartet *uns* danach ??

Wann gehts denn endlich weiter:confused: Mitterweile weiss ich wie sich Vladimir und Estragon gefuehlt haben muessen:rolleyes:

Vladimir ist mein Kollege und Esrtagon steht bei mir im Gewürzregal, kann ICH dir nicht weiterhelfen ??

Der Arme Estragon.

Ja bitte.

... verrate mir nur noch, WIE ?!?!

Reicht denn das was nicht???

Bei manchen schon, bei dir nicht !!

Ein wie entspricht doch einem Loesungsweg. Hilfst du mir da wirklich oder helfe ich mir da nicht selbst?

Bin ich Mutter Theresa ?? Warum sollte ich anderen helfen :)

Weil du es angeboten hast :confused:

hadi ya, ciddimisin ?!?!? :/

Unsere Konversation zeigt dass Frauen und Männer immer aneinander vorbei Reden und einfach nicht für einander bestimmt sind :P

Binomische Formeln
 

Binomische Formeln


Die binomischen Formeln heißen:
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
(a+b)(a-b) = a²-b²

* steht für "Mal" (multiplikation)

1. (a+b)² = a²+2ab+b²
(a+b)² heißt ja dass man die klammer mal die Klammer rechnen muss
wegen "²".
also: (a+b)*(a+b)
also: rechnet man das erst der ersten Klammer MAL das erste der
zweiten Klammer, dann das erste der ersten Klammer mal das
zweite der zwieten Klammer, dann das zweite der ersten
Klammer mal das erste der zweiten Klammer, und zum Schluss
das zweite der zwieten Klammer mal das zweite der zweiten
Klammer!!! (klingt schwer, ist es aber nicht)
also: a*a=a² a*b=ab b*a=ba b+b=b²
a*b=ab b*a=ba kann man zusammen fassen=> 2ab
(siehe oben=> a²+2ab+b²)
Genau so auch ber der 2. und 3. Binomischen Formel!

Vielen Dank, auf einmal macht das alles Sinn. Naja, fastgar. Wenn a^2 a*a bedeutet, was bedeutet dann a^2.5 ???

Könntest du uns vielleicht erstmal das Potenzieren erklären bevor du uns in die Geheimnisse der binomischen Formeln einweihst?

Geschichte
 

Auf sexuelle Themen gehe ich nicht ein; frag mal in einer anderen Rubrik nach den Regeln des Potenzierens nach.

Geschichte der Mathematik:
Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften. Ihre erste Blüte erlebte sie noch vor der Antike in Mesopotamien, Indien und China. Später in der Antike in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt.

In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein und René Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führte zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems.

Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierter algebraischer Gleichungen. Zu seiner Behandlung entwickelten Niels Henrik Abel und Évariste Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die neuere Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden.

Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstraß ihre heutige strenge Form. Die von Georg Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand.

Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhundert stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik; gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte Emmy Noether die Grundlagen der modernen Algebra, Felix Hausdorff die allgemeine Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, Stefan Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane.

seit wann denn bumbumakif?

schenkt mir aufmerksamkeit.

bitte bitte bitte